Матэматыка — пра сутнасць

У рамках навукова-папулярнага праекта “Навука па-за сабой” у Мінскай абласной бібліятэцы імя А.С.Пушкіна прайшоў воркшоп па матэматыцы “Па той бок лікаў, або Што хаваюць ад нас на ўроках матэматыкі”. Якая рэальная карысць ад заняткаў матэматыкай? Ці варта сур’ёзна займацца матэматыкай у сучасным свеце або дастаткова ўмець “гугліць”? На гэтыя і іншыя пытанні шукалі адказ удзельнікі мерапрыемства, якое правёў Ягор Даўгалевец, выпускнік механіка-матэматычнага факультэта БДУ, настаўнік матэматыкі цэнтра дадатковай адукацыі “Адукацыйная прастора “Краіна сяброў”, удзельнік адукацыйнага праекта “Па той бок лікаў”, накіраванага на папулярызацыю матэматыкі як займальнага працэсу даследавання і пазнання, які развівае мысленне і пашырае кругагляд.

Навошта патрэбна матэматыка?

Больш за 5 гадоў Ягор Даўгалевец працаваў у сферы ІТ, займаўся праграмнай аўтаматызацыяй заводаў у Беларусі і Расіі, з’яўляўся кансультантам па сістэмах кіравання вытворчасцю. У апошнія пяць гадоў працуе ў сферы адукацыі, праводзіць заняткі, семінары, майстар-класы для дзяцей, бацькоў і настаўні­каў, дзе расказвае, што ўяўляе сабой матэматыка, чым карысныя заняткі матэматыкай, як яе лепш выкла­даць, якія гульні могуць дапамагчы пры гэтым і на што трэба рабіць акцэнты. Такія заняткі не патрабу­юць спецыяльнай падрыхтоўкі або выдатных ведаў матэматыкі, бо малады чалавек не прапануе задачы павышанай складанасці. Ягор імкнецца развіць у слухачоў погляд на матэматыку як на інструмент для пазнання свету, расказвае, што гэта не толькі навука аб ліках і аперацыях з імі, дапамагае асвоіць мову матэматыкі, на якой можна ёміста і дакладна апісаць зробленыя адкрыцці, авалодаць актуальнымі матэматычнымі ведамі і навыкамі. Зараз Ягор сканцэнтраваны на распрацоўцы аўтарскага курса матэматыкі для сярэдняй школы.

Пазбавіць людзей страху неразумення матэматыкі, паказаць, што матэматыка — гэта не толькі лікі і дзеянні з імі, што галоўны вынік вывучэння гэтай дысцыпліны — не толькі атрыманне прыкладных навыкаў, а фарміраванне асобага матэматычнага мыслення, якое дазваляе больш ясна і глыбока ўспрымаць свет — такую мэту як папулярызатар матэматыкі ставіць перад сабой Ягор.

“На занятках і семінарах я перш за ўсё дапамагаю слухачам зрабіць іх асабістыя адкрыцці. Не гавару ім, як і што працуе, а задаю пытанні або прапаную задачы, якія наводзяць на пэўныя думкі, — гаворыць Ягор. — Слухачы вылучаюць свае гіпотэзы, якія мы потым разам абмяркоўваем. Менавіта падчас такіх заняткаў і “адбываецца матэматыка”, у слухачоў фарміруецца і развіваецца матэматычнае мысленне, пашыраецца светапогляд. Упэўнены, што кожны чалавек можа знайсці свой шлях да матэматыкі, умацаваць свае адносіны з ёй і знайсці для гэтай навукі столькі часу і месца ў сваёй душы, колькі палічыць неабходным”.

Зараз матэматыка цікавіць Ягора Даўгалеўца перш за ўсё з пункту гле­джання таго, як эфектыўней выкла­даць прадмет дзецям. Навошта 5 гадзін у тыдзень на працягу як мінімум 9 гадоў школьнікі вывучаюць матэматыку? Некаторыя бацькі пачынаюць працаваць з дзецьмі ў гэтым кірунку яшчэ да школы. Чаму так складана знайсці ўніверсітэт, куды пры паступленні не трэба здаваць матэматыку? Такія пытанні абмяркоўваў са слухачамі Ягор.

У школе ў многіх гэты прадмет асацыіруецца з чымсьці нудным і незразумелым. І дзеці, і дарослыя часта гаво­раць: “Я і матэматыка — несумя­шчальныя”. Са 100 вучняў толькі 10 па-сапраўднаму цікавяцца прадметам. Сярод аматараў навукі толькі адзін з тысячы працягне займацца ёй штодня і застанецца выкладаць ва ўніверсітэце або пойдзе працаваць у акадэмію навук. Большасць школьнікаў праз матэматыку проста “цягнуць”.

Пры гэтым асноўнай мэтай вывучэння матэматыкі з’яўляецца веданне формул і развіццё навыкаў лічэння. У сучасным свеце такую мэту ўжо нельга лічыць асноўнай, таму што ў кожнага пад рукой камп’ютар. Тым не менш на развіцці навыкаў вуснага лічэння ў першую чаргу робяць акцэнт у пачатковай школе. Традыцыйныя разважанні аб тым, што мы жывём у свеце лікаў, што матэматыка розум у парадак прыводзіць, развівае логіку, памяць, мысленне, што яна спатрэбіцца ў жыцці, правільныя. Але ёсць і мноства іншых спосабаў для развіцця названых уласцівасцей чалавека.

Што тычыцца лікаў, то гэта толькі ўмоўныя абазначэнні, якія не вельмі характарызуюць матэматыку як навуку. Матэматыка цікавая тым, што вывучае агульную заканамернасць. Напрыклад, роўнасць 25 = 9 + 16 (прыклад піфагоравай тройкі) хавае ў сабе пытанне, ці выпадкова гэта? Ці існуюць яшчэ лікі а, в, с, для якіх правільна, што с² = а² + в²?

Ёсць цудоўны раздзел матэматыкі “Тэорыя лікаў”, які доўгі час лічыўся непрыкладным, чыстай матэматыкай. Брытанскі матэматык Годфры Хар­дзі, вядомы сваімі работамі ў тэорыі лікаў і матэматычным аналізе, у сваёй кнізе “Апалогія матэматыка” разважаў аб тым, што ў матэматыцы ўсё знахо­дзіць практычнае прымяненне ў самых розных галінах, толькі тэорыя лікаў не можа быць прыстасавана да жыцця, бо яна даследуе толькі лікі. Але гэта было ў 50-я гады ХХ стагоддзя. Праз 10—15 гадоў пасля выхаду кнігі сітуацыя змянілася: з’явіліся камп’ютары, паўстала пытанне аб неабходнасці шыфраваць інфармацыю для таго, каб яе перадаваць. У выніку быў распрацаваны алгарытм на аснове простых лікаў (аднаго з асноўных аб’ектаў, які вывучаецца ў тэорыі лікаў).

Калі ўбраць лічэнне, ці застанецца матэматыка?

“Калі мы ўявім, што не ўмеем лі­чыць, што няма складання, аднімання і г.д. Ці застанецца матэматыка ў нашым жыцці? — разважае Ягор. — Застануцца, напрыклад, фігуры, але гэта толькі аб’екты вывучэння навукі, а не сама матэматыка. Прапаную вам узяць лісты паперы, падзяліць іх умоўна на 4 часткі (4 акенцы). У кожнай намаляваць любыя чатырохвугольнікі. Пазначыць сярэдзіны старон і спалучыць сумежныя стораны. Атрымаюцца новыя чатырохвугольнікі ўнутры кожнага з іх. Што ў іх агульнага: у кожным выпадку атрымаецца паралелаграм (чатырохвугольнік, у якога процілеглыя стораны паралельныя). Ніякіх вылічэнняў, а матэматыка пры гэтым прысутнічае, яна — у заканамернасці. Матэматыка займаецца выяўленнем законаў — простых (як функцыянуе плоскасць) і складаных (як устроены Сусвет). Намалюем трохвугольнік, адзначым сярэдзіны (кропкі, якія размешчаны на роўнай адлегласці ад канцоў адрэзкаў) старон і спалучым вяршыні з сярэдзінамі. Усе яны павінны перасякацца ў адной кропцы. Так устроены трохвугольнік на плоскасці.

Ці чулі вы пра задачы на пабудову з дапамогай цыркуля і лінейкі? Лінейку і цыркуль раней замянялі вяроўкі, з прымяненнем якіх праводзілі прамыя лініі. У Старажытным Егіпце не было вугольніка. Тым не менш там адмяралі ўчасткі зямлі прамавугольнай формы і рабілі роўнымі сцены ў дамах. Для гэтага бралі вяроўку, завязвалі на ёй вузялкі на роўнай адлегласці адзін ад аднаго. Патрэбна было 12 адрэзкаў. З дапамогай такога “інструмента” цудоўна адмяралі прамыя вуглы. Памятаеце пра егіпецкі трохвугольнік? У Егіпце ён выкарыстоўваўся для таго, каб зрабіць адвес, прамы вугал. Матэматычныя веды ў тыя часы былі пропускам у эліту грамадства”.

Задача пра сем мастоў 

Ці ведаеце вы пра швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера? Звычайна пра яго ўзгадваюць у сувязі з задачай аб сямі мастах Кёнігсберга і тэорыяй графаў — кірунку навукі, які ён стварыў, рашаючы гэтую задачу. Існуе легенда, што жыхары Кёнігсберга любілі прагульвацца па вуліцах трох сярэдневяковых гарадоў, якія зліліся ў адзінае цэлае: Альштата, Лебеніхта і Кнайпхофа. Але дарэмна таптаць свае чаравікі ніхто з жыхароў не хацеў. Гарады былі злучаны паміж сабой сямю мастамі. Эканомныя гараджане задумаліся, ці можна прайсці па ўсіх мастах так, каб на кожным з іх пабываць толькі адзін раз і вярнуцца да месца, адкуль пачалася прагулка. Эйлера задача зацікавіла. У рэшце рэшт ён рашыў яе і атрымаў адмоўны адказ. Прайсці па ўсіх мастах толькі адзін раз і, апісаўшы круг, вярнуцца ў зыходную кропку, аказалася немагчыма. Абмежаваныя ўчасткі зямлі, з якіх можна зайсці на масты, і самі масты ён прадставіў у выглядзе кропак. Шлях, па якім можна трапіць з аднаго ўчастка зямлі на іншы па мосце, абазначыў лініяй. Такі спосаб абазначэння даў пачатак цэламу раздзелу матэматыкі — тэорыі графаў, з дапамогай якой можна рашыць шмат прыкладных задач пры вывучэнні транспартных і камунікацыйных сістэм. Той жа навігатар пры пракладцы маршруту выкарыстоўвае алгарытмы, заснаваныя на тэорыі графаў.

Задача пра сем мастоў — яскравы прыклад таго, што ўяўляе сабой матэматыка, як яна ўстроена, што адзін з найлепшых навыкаў, які развівае матэматыка, праніклівасць, а таксама ўменне бачыць сутнасць пры рашэнні канкрэтнай задачы. Дарэчы, іншае рашэнне гэтай задачы прапанаваў кайзер Вільгельм. Ён загадаў пабудаваць восьмы мост. Пасля чаго задача стала лёгкарашальнай. Трэцяе рашэнне прыдумалі рачнікі. За невялікую плату яны прапаноўвалі перавезці ўсіх, каму не хапала моста для вырашэння пытання.

Цікава таксама ўзгадаць сістэму матэматычных абазначэнняў, якой зараз карыстаюцца. Каб прыйсці да яе, спатрэбілася некалькі тысяч гадоў. Эўклід стварыў геаметрыю, якую дагэтуль вывучаюць у школе, але ён не карыстаўся спецыяльнымі знакамі, ён усё абазначаў словамі. Напрыклад, да “невядомага дабавіць дзве штукі — адбудзецца…”. Галоўным крытэрыем, якім кіраваліся людзі пры стварэнні сістэмы абазначэнняў, была зручнасць, тое, наколькі абазначэнне дазваляе ўлавіць сут­насць і адкінуць другаснае. Калі мы пішам лік “3”, што маецца на ўвазе? Што гэта дадатны лік, што дробная частка ў яе нулявая. За рознай формай прадстаўлення інфармацыі (матэматычным запісе) трэба бачыць аднолькавую сутнасць. Напрыклад, а+3 гэта тое самае, што
5 + а – 2 ці 2а – 3 + 6 – а.

Зрабіць самастойнае адкрыццё

Гісторыя пра тое, што матэматыка патрэбна для таго, каб “паступіць ва ўніверсітэт”, “падлічыць рэшту ў магазіне” або “знайсці работу, за якую добра плацяць”, ужо не вельмі актуальная. Усё гэта толькі “плюшкі”, якія сучаснікі атрымліваюць ад вывучэння матэматыкі.

“Галоўным па-ранейшаму з’яўляецца тое, што спакон веку давала матэматыка чалавеку: уменне бачыць сутнасць рэчаў, пашырэнне і ўзбагачэнне светаўспрымання, — гаворыць Ягор Даўгалевец. — Матэматык бачыць свет па-іншаму, бачыць тэмы, якія не заўважаюць іншыя людзі, заўважае прыга­жосць, недасягальную для іншых. Чалавек, які разбіраецца ў мастацтве, глядзіць на геніяльную карціну, і яна яго кранае. Той, хто не цікавіцца мастацтвам, нічога асаблівага ў палатне не заўважыць.

Школьная матэматыка — гэта мой боль. Асабліва хвалюе тое, як яе ўспрымаюць, як выкла­даюць з метадычнага пункту гледжання. Настаўнікі амаль не абмяркоўваюць задачу па абагачэнні светаўспрымання дзіцяці праз матэматыку. Больш важным лічыцца навучанне канкрэтным навыкам і дзеянням. Напрыклад, рашэнню квадратных ураўненняў — навыку, які быў вельмі патрэбны 20 гадоў назад інжынерам, бо пад рукой у іх не было сучасных га­джэтаў і дадаткаў. Педагогу варта заклі­каць вучня да самастойнай думкі. Але часам атрымліваецца інакш. Пачынаецца ўрок матэматыкі, і настаўнік падае як да­насць: “Сума вуглоў трохвугольніка роўная 180 градусаў”. І адразу ж задачу на замацаванне: адзін вугал роўны 45 градусаў, другі — 70 градусаў, колькі бу­дзе трэці? Чаму б не дазволіць дзецям самім зрабіць адкрыццё. Папрасіць намаля­ваць трохвугольнік, а пасля памераць яго вуглы і падлічыць суму. Затым — яшчэ адзін трохвугольнік, памераць яго вуглы. Як ні круці, які трохвугольнік ні малюй, сума вуглоў будзе аднолькавай. Дзеці засвояць гэта правіла лепш, калі самі яго вынайдуць”. 

Надзея ЦЕРАХАВА.
Фота аўтара.